期权定价的直觉

开篇同样是平值，价格差七倍

三只股票今天都收在 $100。你在期权链上各找了一张行权价 100 的看涨期权，报价分别是 $1.88、$7.01 和 $13.75。

A 和 B 的股价、行权价、到期日完全一样，B 却贵了 3.7 倍。差别全在波动率：市场认为 B 未来一个月的波动幅度是 A 的四倍。C 的美元价格最高，但它买的是一整年的不确定性，单看 $13.75 说不出它是贵还是便宜。

这说明期权的美元价格本身不说明贵贱。要判断贵贱，先得知道价格是怎么来的。这一章回答三个问题：权利金由哪些输入决定；这些输入怎样被组合成一个价格；不打开计算器时，怎样估出一个大致合理的价格。

3.1六个输入与影响方向

六个输入里，标的价格、行权价、到期时间、利率和股息都能直接查到，只有波动率需要从市场价格里反推。先看每个输入变大时，看涨和看跌往哪个方向走。

波动率那一行最值得多想一下。股价跌破行权价之后，看涨期权最多亏掉权利金，跌得再深也一样；涨过行权价之后，涨多少赚多少。所以波动变大时，看涨持有人只是多了「大涨」的机会，「大跌」的代价已经被封住。看跌期权同理。这就是期权价格对波动率永远单调上升的原因。

用数字验证

下面以「股价 100、行权价 100、30 天、IV 30%、利率 4%、不派息」为基准，每次只改一个输入。

三个观察：

• 股价和行权价的影响最大。股价每变动 $1 带来的期权价格变化就是 Delta（第 4 章）。
• IV 让看涨和看跌涨了完全一样的 0.570。这不是巧合。3.5 节的买卖权平价说明，看涨减看跌的差额只由股价、行权价、利率和时间决定，和波动率无关。所以波动率变化时两者必须同步涨跌。
• 利率和股息对 30 天期权的影响很小，只有几美分。对一两年的长期期权（LEAPS）就不能忽略了，第 5 章会算给你看。

唯一看不见的输入：隐含波动率

前五个输入都是事实，波动率却是对未来的估计，没有人能直接观察到。实务中的做法是反过来：拿市场成交的期权价格，代入公式，解出让公式价格等于市场价格的那个 σ，这就是隐含波动率（IV）。

例如股价 $100、30 天平值看涨的市场价是 $4.20，反解得到 IV 35.3%。这个价格比基准（IV 30%、$3.591）贵，贵在市场预期的波动更大。所以交易员报价时常常直接说「这张期权 35 个波动率」，而不说 $4.20：IV 把不同股价、不同期限的期权放到了同一把尺子上。第 6 章会专门讲 IV 的高低怎么判断。

3.2Black-Scholes 在算什么

Black-Scholes 给出的价格有两种读法：到期收益的期望值再折现；或者用股票和现金复制这张期权的成本。两种读法算出同一个数。

读法一：期望到期收益，再折现

看涨期权到期时的收益是 max(S_T − K, 0)。如果知道到期股价的分布，算出这个收益的平均值，再按利率折回今天，就是期权价格。公式的两项正好对应这件事：

• 第二项 Ke^−rTN(d₂)：到期价内时你要付出行权价 K。N(d₂) 是到期价内的概率，乘上去再折现。基准例子里是 99.672 × 0.498 = 49.646。
• 第一项 SN(d₁)：到期价内时你得到一股股票。价内时的股价都在 100 以上，平均约 $107.23，按价内概率加权再折现就是 100 × 0.532 = 53.237。
• 两项相减：53.237 − 49.646 = 3.591。用数值积分直接对对数正态分布求期望，再折现，得到的也是 3.591。

这里的「概率」和「期望」有个前提：它们是在风险中性的分布下算的，也就是假设股票的期望收益率恰好等于无风险利率 4%。为什么可以这样假设？要看第二种读法。

读法二：复制组合

用一个最简单的例子：股价 $100，一个月后只有两种可能，涨到 110 或跌到 90。行权价 100 的看涨期权到期收益是 10 或 0。

现在买 0.5 股，同时借入 $44.85（一个月后连本带息还 45）。一个月后：股价 110 时，0.5 股值 55，还掉 45 剩 10；股价 90 时，0.5 股值 45，还掉 45 剩 0。这个组合在两种情形下的收益都和看涨期权一模一样，成本是 50 − 44.85 = $5.15。所以看涨期权就值 $5.15。

Black-Scholes 就是把这一步拆成无数个小步，每一小步都按当时的比例重新调整股票数量。这个比例就是 N(d₁)，也就是 Delta。所以 Delta 既出现在价格公式里，又是对冲比率（第 4 章）。

这给交易带来一个重要推论：期权价格不包含你对方向的看法，只包含对波动大小的看法。你看涨还是看跌，要通过「买还是卖、选哪个行权价」来表达；而一张期权贵不贵，只取决于它隐含的波动率和你预期的实际波动相比是高还是低。

3.3到期价格的分布

Black-Scholes 假设股价的对数收益服从正态分布，所以到期股价服从右偏的对数正态分布：最多跌到 0，涨没有上限。

这个假设有三个直接后果：

1. 中位数低于均值。均值是 Se^rT，中位数是 Se^{(r−σ²/2)T}。30 天、IV 30% 时两者是 100.33 和 99.96，几乎一样。一年、IV 60% 时变成 104.08 和 86.94：一年后股价低于今天的概率是 59.2%，平均值却比今天高。高波动的股票「多数时候跌、少数时候大涨」，就是这个形状。
2. ±1 个标准差的区间不对称。30 天、IV 30% 时，包含 68% 概率的区间是 [91.72, 108.94]：向上 +8.94，向下 −8.28。
3. 对称的距离，不对称的概率。同样离现价 $10，到期高于 110 的概率是 13.3%，低于 90 的概率是 11.1%。

这张图也说明了为什么期权按「对数」来定价。股价从 100 涨到 200 是 +100%，从 100 跌到 50 是 −50%，但在对数尺度上两者距离相同（都是 ln 2）。对数正态分布把这种「乘法式」的涨跌处理得很自然，并且保证股价永远为正。

3.4正态假设的局限

真实的股价收益有两个特征是对数正态分布描述不了的：极端涨跌比模型说的频繁得多（肥尾），而且大跌往往比大涨更常见、更猛烈（负偏）。

先看正态分布对极端日子有多「乐观」。假设日收益服从正态分布，一年 252 个交易日：

t 分布一列只是示意：把它缩放到和正态分布相同的标准差，差别只在尾部的厚度。真实市场的尾部厚度随时期变化，没有一个固定的数。但方向是确定的：以长期平均的日波动为标准，美股指数在过去几十年里多次出现超过 5 个标准差的单日跌幅；按正态分布，这类日子一万年也轮不到一次。

这对期权价格意味着什么

• 远虚值看跌被市场加价。Black-Scholes 用同一个 σ 给所有行权价定价。如果尾部更厚，保护大跌的远虚值看跌就应该更贵。市场确实这样做：同一到期日，虚值看跌的隐含波动率通常高于平值，这叫波动率偏斜（第 6 章）。例如 30 天 90 看跌按 IV 30% 值 $0.40，若市场按 36% 报价就是 $0.74，贵了八成多。
• 波动率本身会变。模型假设 σ 不变，现实中大跌时波动率会跳升，平静时又慢慢回落。这正是第 5 章 Vega 要处理的问题。
• 股价会跳空。财报、并购、监管消息会让股价一步跳过很多价位。3.2 节的复制论证需要连续调仓，跳空时做不到，期权卖方在跳空中承担的风险比模型算出的大。

3.5买卖权平价

同一行权价、同一到期日的看涨和看跌，价格被一个等式锁在一起：看涨 − 看跌 = 股票 − 行权价现值。

为什么必须成立

比较两个组合。组合 A：买 1 份看涨，再存入 Ke^−rT 的现金。组合 B：买 1 份看跌，再持有 1 股股票。看到期时各值多少（行权价 100）：

不论股价到哪里，两个组合到期都等于 max(S_T, K)。到期价值完全相同的两个组合，今天的价格也必须相同：C + Ke^−rT = P + S，移项就是平价公式。

用基准数字检查：3.591 − 3.263 = 0.328，100 − 99.672 = 0.328。注意整个推导没有用到波动率、分布或 Black-Scholes。只要能自由买卖和借贷，平价就成立。这也是 3.1 节里 IV 变化让看涨、看跌同涨 0.570 的原因。

违反平价时会发生什么

假设看涨被报到 3.80，看跌仍是 3.263。卖出看涨、买入看跌、买入股票（这个组合叫 conversion）：支出 100 + 3.263 − 3.80 = 99.463。到期时无论股价多少，你都以 100 卖出股票：涨了被看涨叫走，跌了用看跌卖出。今天付 99.463，一个月后确定拿回 100，扣掉 4% 的利息成本还多赚 $0.21/股，每张 $21。做市商和套利程序会立刻做这笔交易，直到价格回到平价附近。对个人交易者来说，平价的用处是检查报价和理解头寸，套利就留给做市商。

美式期权与股息

• 美式期权：美股个股期权是美式，可以提前行权，平价从等式变成区间。不派息时 S − K ≤ C − P ≤ S − Ke^−rT。30 天平值期权的区间是 0 到 0.328，非常窄；1 年平值是 0 到 3.92。
• 有股息：C − P = S − PV(股息) − Ke^−rT。到期前要派 $1 股息，看涨相对看跌就便宜约 $1。这也是除息日前实值看涨容易被提前行权的原因（第 2 章）。
• 难借券的股票：卖空需要付借券费时，看跌会相对看涨贵出这部分成本，平价看起来「失灵」。实际上是公式里多了一项成本。

3.6合成头寸

把平价等式移项，就得到四组「换一种形式持有同一风险」的等价头寸。

合成多头与合成空头

买 1 张 100 看涨（3.591）、卖 1 张 100 看跌（3.263），净付 $0.328/股。这个组合的 Delta 是 0.532 + 0.468 = 1.000，Gamma 正好抵消（同一行权价的看涨和看跌 Gamma 相同）：它的风险和 100 股股票完全一样，到期盈亏也一样。区别只在资金：买股票要付 $10,000，合成多头只付 $32.8 外加卖出看跌所需的保证金。省下来的钱如果存起来赚利息，结果和买股票分毫不差；如果拿去加更多张数，那就是加杠杆。

合成空头反过来：卖看涨、买看跌。它常用在借券困难或借券费很高的股票上，代价是此时看跌已经被市场加了价（见上节）。

备兑开仓 = 卖出看跌

第三行最常被忽视。持股并卖出看涨（备兑开仓），和卖出同一行权价的看跌并备足现金（现金担保卖沽），到期盈亏完全相同：涨过行权价时都拿到固定的最大收益，跌下去时都承担股价下跌的损失。案例 1 会逐点对比。

保护性看跌 = 买入看涨

持股并买看跌保险，等价于把大部分钱存起来、只买一张看涨。两者下跌时的最大损失和上涨时的收益都一样。这也说明「买保险」的成本可以直接用看涨期权的时间价值来衡量。

3.7概率读法

期权价格里藏着市场对到期分布的看法：Delta 近似价内概率，期间触及行权价的概率约为价内概率的两倍。

第 4 章已经讲过：Delta 是 N(d₁)，风险中性下的到期价内概率是 N(d₂)。看涨的 Delta 略高于价内概率；看跌则相反，|Delta| = N(−d₁) 略低于价内概率 N(−d₂)。下表把两边放在一起：

为什么触及概率约是两倍

设想股价在到期前的某一刻碰到了 110。从那一刻起，剩下的路径涨和跌的机会差不多各占一半，因为短期内的漂移很小。所以「到期收在 110 上方」大约只占「碰到过 110」的一半。反过来说，触及概率 ≈ 2 × 价内概率。这个思路在数学上叫反射原理；加上漂移修正后的精确公式，和「两倍」的近似在上表里差别不到 0.003。

这个近似在三种情况下会走样：

• 漂移变大：期限很长或利率很高时，「涨跌各一半」不再成立。
• 只看收盘价：表里的触及概率按连续盯盘计算。如果只在每天收盘检查一次（模拟 30 个观察点），110 的触及概率从 0.266 降到约 0.22，105 从 0.57 降到约 0.50。盘中触及后又收回的情况不算。
• 真实分布有肥尾和跳空：这时两种概率都会被低估。

在期权链上找「一个标准差」

常听到「16 Delta 约等于一个标准差」。来源是标准正态分布里 N(−1) = 0.159。30 天、IV 30% 时，一个标准差对应的行权价是 100 × e^±0.086，即 108.98 和 91.76。在这两个行权价上，价内概率确实约为 0.16；但 Delta 分别是看涨 0.179、看跌 −0.140，因为 d₁ 和 d₂ 差了一个 σ√T。所以在期权链上找一个标准差的位置，看涨找 0.18 左右，看跌找 0.14 左右。IV 越高、期限越长，偏离越大。

3.8心算一：预期变动

一个标准差的预期变动 ≈ 股价 × IV × √(天数/365)。IV 是一整年的标准差，按时间的平方根缩放到你关心的期限。

为什么是平方根？每天的收益近似独立，独立变量的方差可以相加：30 天的方差是 1 天的 30 倍，标准差就是 √30 倍。IV 30% 对应的日标准差是 30% ÷ √365 = 1.57%，30 天就是 1.57% × √30 = 8.6%。

例：股价 $200、IV 40%、两周（14 天）：200 × 0.40 × √(14/365) = 200 × 0.40 × 0.196 = $15.7。市场认为两周后股价大约有 68% 的概率在 184 到 216 之间。

心算有多准

心算给的是对称的 ±，而对数正态分布的区间上宽下窄，还会随 −σ²/2 整体下移。两者的差距取决于 σ√T 的大小：

σ√T 在 0.2 以内（例如 IV 30% 的三个月以内、IV 60% 的一个月以内），心算值基本落在精确上沿和下沿之间，误差在 1 美元左右。超过 0.3 以后要小心：最后一行里，上沿反而低于心算值，因为整个区间被 −σ²/2 拉低了。

3.9心算二：跨式的 0.8

平值跨式（同一行权价各买一张看涨和看跌）的价格 ≈ 0.8 × 一个标准差的预期变动。0.8 来自正态分布的平均绝对值 √(2/π) ≈ 0.798。

推导一：平均绝对变动

平值跨式到期的收益是 |S_T − K|，也就是股价变动的绝对值。如果股价变动近似服从标准差为 M = Sσ√T 的正态分布，它的绝对值的平均数是：

推导二：从 Black-Scholes 出发

平值时 S = K，忽略利率，d₁ = σ√T/2，d₂ = −σ√T/2，看涨价格变成

顺带得到一个更常用的规则：平值看涨 ≈ 0.4 × 股价 × IV × √(天数/365)。基准例子：0.4 × 100 × 0.30 × 0.287 = 3.44，Black-Scholes 是 3.591。差的 0.15 来自利率：平价告诉我们看涨比看跌贵 0.328，看涨分到其中一半。把这一半加回去就是 3.60。这个规则在 3.1 节反推 IV 时也能用：(4.20 − 0.16) ÷ (0.4 × 100 × 0.287) ≈ 35.2%，精确值是 35.3%。

用数字验证误差

法则总是略微高估，而且误差随 σ√T 变大。原因是推导二用「宽度 × 峰值」近似了曲线下的面积，而正态密度在峰值两侧是往下弯的。更精确的展开是 N(x/2) − N(−x/2) ≈ 0.399x(1 − x²/24)，x = σ√T。x = 0.3 时修正不到 0.4%，x = 1 时约 4%。日常用到的期限和 IV 下（σ√T < 0.3），误差不到 1%，完全可以放心心算。

两个反向用法

• 从跨式读预期变动：一个标准差 ≈ 跨式 ÷ 0.8 = 1.25 × 跨式。
• 从跨式反推 IV：IV ≈ 跨式 ÷ (0.8 × 股价 × √(天数/365))。

案例三个案例

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自测五题