第 4 章 Delta 与 Gamma · 美股期权课

本章目录

开篇：仓位自己长大了
4.1 Delta 的三种读法
4.2 Delta 怎么变
4.3 组合 Delta 与 Beta 加权
4.4 Gamma：Delta 的速度
4.5 Delta–Gamma 盈亏近似
4.6 Gamma 与 Theta 的交换
4.7 Gamma scalping 演练
4.8 做市商 Gamma 与市场
三个案例
清单与自测

学完本章你能

把任何期权仓位换算成「相当于多少股」
下单前估算 ±3%、±5% 的盈亏
算出持有期权每天至少要「动多少」才回本

前置知识

第 1 章：四种基本头寸与到期盈亏图
第 3 章：权利金的六个输入

本章约定

示例用 Black-Scholes，利率 4%，不派息
天数为日历天，一年 365 天
一张合约 = 100 股

开篇仓位自己长大了

你买了 10 张平值看涨期权：股价 $100，行权价 100，还有 5 天到期，隐含波动率 30%。之后几天你一张都没加，股价也只涨了 2%。

买入那天，每张期权的 Delta 是 0.513，10 张相当于持有 513 股。到最后一天，股价 $102，离到期只剩 1 天，Delta 变成 0.899，相当于 899 股。你什么都没做，方向敞口却放大了 75%。

表 4-0　10 张 100 看涨期权，到期前五天的「等效股数」
时点	股价	剩余天数	单张 Delta	相当于持股	期权价格
第 1 天	100.0	5	0.513	513	1.43
第 2 天	100.8	4	0.612	612	1.72
第 3 天	101.2	3	0.679	679	1.82
第 4 天	101.6	2	0.769	769	1.93
第 5 天	102.0	1	0.899	899	2.09

这就是 Gamma 在起作用：它让 Delta 随价格和时间自动变化。股票没有这个性质，100 股永远是 100 股。期权的风险是会「自己长大」的，这一章就是教你提前看见它。

4.1Delta 的三种读法

同一个 Delta 数字，有三种用法。哪一种都对，但每种都有适用边界。

读法一：价格敏感度

标的涨 $1，期权价格大约变动 Delta 美元。Delta 0.53 的看涨期权，股价从 100 涨到 101，期权大约从 3.59 涨到 4.12。看涨期权 Delta 在 0 到 1 之间，看跌期权在 −1 到 0 之间。

读法二：对冲比率与「等效股数」

Delta × 100 就是一张合约相当于多少股。这是最实用的读法，因为它让股票和不同期权可以直接相加。

仓位 Delta = Σ (单张 Delta × 100 × 张数 × 方向)

方向：买入为 +1，卖出为 −1。正股的单股 Delta 恒为 1。

买 2 张 Delta 0.40 的看涨：+0.40 × 100 × 2 = +80 股
卖 3 张 Delta −0.30 的看跌：−0.30 × 100 × 3 × (−1) = +90 股
两者合计 +170：方向上相当于持有 170 股。卖出看跌和买入看涨一样是看多

读法三：到期在价内的概率（近似）

Delta 常被当成「到期价内概率」来用。这只是近似：Black-Scholes 里 Delta 是 N(d₁)，而风险中性下的价内概率是 N(d₂)，前者总是略大。另外，这是市场定价隐含的概率，不是真实世界的概率。

表 4-1　股价 $100、30 天、IV 30% 时，Delta 与概率的差别
看涨期权行权价	Delta N(d₁)	到期价内概率 N(d₂)	期间触及过行权价的概率 ≈ 2 × N(d₂)
105	0.313	0.284	≈ 0.57
110	0.152	0.133	≈ 0.27

要点

「触及概率约是价内概率的两倍」对卖方特别重要：一张 Delta 0.15 的看涨，到期价内的概率只有一成多，但在这 30 天里股价碰到 110 的概率接近三成。卖方的止损往往在「触及」时就被打到，而不是等到到期。

4.2Delta 怎么变

Delta 受三样东西推动：价格、时间、波动率。价格对 Delta 的影响就是 Gamma（4.4 节）；时间和波动率的影响各有名字，叫 Charm 和 Vanna。先用下面的图直观感受一下。

Delta 随股价变化的 S 形曲线图 4-1 · 行权价 100，可拖动

剩余天数 30 天隐含波动率 30%

当前设置参照：30 天、IV 30%

—股价 95 时

—股价 100 时

—股价 105 时

把剩余天数拖到 1–3 天，曲线会变成接近竖直的台阶：平值附近一点点价格变化就让 Delta 从 0.2 跳到 0.8。把隐含波动率调高，曲线会变平：虚值期权的 Delta 被抬高，实值期权的 Delta 被压低。

价格：越接近平值，Delta 变化越快

表 4-2　股价 $100、IV 30%，不同行权价的看涨 Delta
行权价	85	90	95	100	105	110	115
30 天看涨	0.98	0.90	0.75	0.53	0.31	0.15	0.06
5 天看涨	1.00	1.00	0.93	0.51	0.09	0.00	0.00
30 天看跌	−0.02	−0.10	−0.25	−0.47	−0.69	−0.85	−0.94

看跌 Delta 等于看涨 Delta 减 1（同行权价、同到期）。所以平值看涨约 0.53、平值看跌约 −0.47，并不是各占一半：d₁ 里含有利率和波动率的漂移项，平值看涨的 Delta 会略高于 0.5。

时间：Charm 把 Delta 推向 0 或 1

什么都不变，只过一天，Delta 也会变。这个变化率叫 Charm。虚值期权的 Delta 每天往 0 漂，实值期权往 1 漂。110 看涨从 30 天到 29 天，Delta 从 0.152 掉到 0.148；到剩 10 天时只剩 0.031。90 看涨则从 0.904 涨到 10 天时的 0.985。

注意

周五收盘前，做市商为大量临近到期的期权调整对冲。虚值期权的 Delta 迅速归零，对应的对冲股票被平掉，这股资金流就是 Charm 带来的。很多「到期日下午的莫名波动」与此有关。

波动率：Vanna 改变 Delta

隐含波动率每变动 1 个点，Delta 的变化叫 Vanna。110 看涨（30 天）在 IV 30% 时 Delta 是 0.152；IV 升到 31%，变成 0.161；升到 40%，变成 0.228；降到 20%，只剩 0.057。

这意味着财报后 IV 崩塌时，你手里虚值期权的价格和 Delta 会同时缩水：方向判断即使对了，能吃到的涨幅也变少了。

4.3组合 Delta 与 Beta 加权

持有好几只股票和期权时，单看每个仓位的 Delta 没法回答「我整体押了多少大盘」。办法是把每个仓位都换算成「相当于多少股 SPY」。

SPY 等效股数 = 仓位 Delta × 个股价格SPY 价格 × β

仓位 Delta 用股数表示；β 是个股相对标普 500 的 Beta。价格比把「股数」换成「美元」再换回 SPY 的股数。

例子：SPY 在 $780。A 股 200 股、股价 $150、β 1.3，等于 200 × 150 / 780 × 1.3 = 50 股 SPY。下面的计算器已经填好三个仓位，你可以改成自己的。

Beta 加权 Delta 计算器工具 4-A · 可编辑

SPY 价格对冲用 SPY 看跌期权的 Delta

仓位	类型	数量	单位 Delta	标的价格	β	SPY 等效股数

—组合合计：SPY 等效股数

—等效于持有 SPY 市值

—完全对冲需买入的 SPY 看跌张数

类型选「期权」时，数量填张数（卖出填负数），单位 Delta 填单张 Delta；选「股票」时数量填股数，单位 Delta 固定为 1。

注意单位

上面的组合合计约 300 股 SPY。要对冲它，是卖空约 300 股 SPY，或买入约 7–8 张 Delta −0.40 的 SPY 看跌（每张 −40 股）。把「300」误当成合约数，对冲规模就差了 100 倍。

Beta 加权常常暴露「隐藏的集中」：三只看起来不相关的科技股和一张 QQQ 看涨，换算后可能全是同一个方向的大盘敞口。多个科技、高 Beta、小盘和看涨期权仓位，往往是同一个方向的风险，不能凭代码个数认为已经分散。

4.4Gamma：Delta 的速度

Gamma 是标的每涨 $1 时 Delta 的变化量。如果说 Delta 是你的速度，Gamma 就是油门。

符号：买入期权（无论看涨看跌）Gamma 为正；卖出为负；正股 Gamma 为零。
正 Gamma：涨的时候 Delta 变大（越涨越多），跌的时候 Delta 变小（越跌越少）。盈亏曲线向上弯。
负 Gamma：正好相反。涨的时候你越来越空，跌的时候越来越多，盈亏曲线向下弯。

Gamma 在平值处达到峰值，临近到期急剧变尖图 4-2 · 行权价 100，IV 30%

同一张平值期权，剩 60 天时 Gamma 约 0.033，剩 2 天时约 0.18，放大了五倍多。而虚值 110 的 Gamma 在临近到期时几乎归零：它离得太远，已经很难再影响 Delta。

表 4-3　平值期权（股价与行权价都是 100，IV 30%）的 Gamma 与 Theta
剩余天数	Gamma	每张涨 $1 后 Delta 增加（股）	每日 Theta（每股，美元）
365	0.0128	1.3	−0.021
90	0.0265	2.7	−0.038
30	0.0462	4.6	−0.062
7	0.0960	9.6	−0.124
2	0.1796	18.0	−0.227
1	0.2540	25.4	−0.319

注意 Gamma 和 Theta 是一起变大的。这不是巧合，4.6 节会说明：Gamma 的价格就是 Theta。

跨标的比较：用「美元 Gamma」

Gamma 的单位是「每 $1 的 Delta 变化」。$10 的股票动 $1 是 10%，$800 的股票动 $1 只是 0.1%，所以不同价格的标的不能直接比 Gamma。实务上常用 1% 美元 Gamma：股价变动 1% 时，你的 Delta 变化相当于多少美元的股票。

1% 美元 Gamma = Γ × 100 × 张数 × S × (1% × S)

4.8 节估算做市商 Gamma 敞口用的就是这个量。

4.5Delta–Gamma 盈亏近似

下单前最有用的一个公式：用当前的 Delta 和 Gamma，估算股价移动 ΔS 后的盈亏。

盈亏 ≈ Δ · ΔS + 12 Γ · (ΔS)² + Vega · Δσ + Θ · Δt

前两项就是常说的 Delta–Gamma 近似。后两项分别是波动率和时间的影响，常被忽略，但在财报前后它们往往才是主角（见案例 2）。

以 30 天平值看涨为例：Delta 0.532，Gamma 0.0462，价格 3.591。股价涨 $5，近似值 0.532 × 5 + ½ × 0.0462 × 25 = 3.24；用 Black-Scholes 重新定价是 3.207。跌 $5，近似 −2.084，实际 −2.082。同样 $5，涨赚的比跌亏的多：这就是正 Gamma 的不对称。

近似公式在小幅移动时几乎完美，大幅移动时开始偏离图 4-3 · 30 天平值看涨，每股盈亏

IV 变化 0 点经过天数 0 天

真实盈亏（重新定价）只用 DeltaDelta + Gamma

两个滑块都为 0 时，粉色线和黑色线在 ±5 以内几乎重合。把 IV 往下拖 20 点，黑色线整体下沉，近似公式却纹丝不动，这就是财报后「方向对了还亏钱」的来源。把经过天数往右拖，可以看到 Theta 一天天吃掉权利金。

表 4-4　近似值与重新定价的差距（每股，IV 与时间不变）
股价移动	真实盈亏	只用 Delta	Delta + Gamma	误差
−10	−3.122	−5.324	−3.012	+0.110
−5	−2.082	−2.662	−2.084	−0.002
−3	−1.387	−1.597	−1.389	−0.002
+3	+1.799	+1.597	+1.805	+0.006
+5	+3.207	+2.662	+3.240	+0.033
+10	+7.300	+5.324	+7.635	+0.335

什么时候能信

移动在 1 个日标准差以内（约 S × IV ÷ 19）：误差可以忽略
移动超过 2–3 个标准差，或离到期不到一周：Gamma 本身也在剧烈变化，误差迅速放大
有事件（财报、FOMC）：必须把 Vega 项加进去，最好直接重新定价

4.6Gamma 与 Theta 的交换

买期权得到正 Gamma，代价是每天付 Theta；卖期权收 Theta，代价是承担负 Gamma。两者不是独立的，Black-Scholes 方程把它们绑在了一起。

Θ + 12 σ²S²Γ + rSΔ − rV = 0

忽略利率项，就得到 Θ ≈ −½ σ² S² Γ：Theta 的大小正比于 Gamma。Gamma 越大的期权，每天的时间损耗也越大。

每天要动多少才回本

如果你买入期权，并用股票把 Delta 对冲到零，一天的盈亏只剩两项：Gamma 带来的 ½Γ(ΔS)²，减去 Theta。令两者相等，得到回本所需的每日移动：

|ΔS|_回本 = √(2|Θ| / Γ) ≈ S × σ√365 ≈ S × σ19

按日历天计算是除以 √365 ≈ 19。交易员常说「除以 16」，那是按交易日计（√252 ≈ 15.9，取 16）：周末两天的时间损耗被摊进周五，所以每个交易日要求的移动更大。

30 天平值看涨：Theta −0.0624，Gamma 0.0462，回本移动 √(2 × 0.0624 / 0.0462) = $1.64。简化公式给出 100 × 0.30 / 19.1 = $1.57，差的那一点来自利率项。按交易日约定则是 100 × 0.30 / 16 ≈ $1.88。

对冲后的每日盈亏是一条抛物线图 4-4 · 平值看涨 + 股票对冲，每股

剩余天数 30 天隐含波动率 30%

—回本所需每日移动

—简化公式 S·σ/√365

—股价不动时的每日损失

抛物线与横轴的两个交点之间（阴影区）是亏损区：股价动得不够大，Gamma 赚的钱补不上 Theta。把剩余天数调小，抛物线变窄变深：Gamma 更大，但 Theta 也更贵。

一句话

买期权本质上是在押「实际波动率会高于隐含波动率」，卖期权是押相反。方向只是这笔交易的一部分。

4.7Gamma scalping 演练

Gamma scalping 是把 4.6 节的结论变成操作：买入期权得到正 Gamma，然后每当股价移动，就用股票把 Delta 调回零。正 Gamma 让这个过程自动「高卖低买」：涨了 Delta 变大，你卖股票；跌了 Delta 变小，你买回来。

下面用一个具体仓位走五天：买入 10 张 30 天平值跨式（10 张看涨 + 10 张看跌，行权价 100，IV 30%），每天收盘对冲到零，每股滑点按 $0.02 计。初始仓位 Gamma 约 92.5 股/美元，每天 Theta 约 −$114。

同一个仓位，两种行情图 4-5 · 10 张跨式，每日收盘对冲

收盘价▼ 卖出股票▲ 买入股票

天	收盘	移动	期权盈亏	对冲盈亏	调仓（股）	当日合计	累计

—五天对冲后累计盈亏

—同期不对冲、只拿跨式

—这段路径的实际波动率

行情 A 第五天收在 101.9，几乎回到原点，只拿跨式不对冲会亏 $304。对冲后每天都在高处卖、低处买，五天赚了 $797。行情 B 波动太小，每天赚的 Gamma 只有十几美元，Theta 却要扣 $114，五天亏 $542。两种结果的分界线，就是实际波动率是否高于买入时的 30% 隐含波动率。

真实世界里多出来的成本

对冲频率：对冲越勤，越接近理论值，但手续费和滑点越高。实务中常按 Delta 偏离的阈值（例如超过 ±50 股）来对冲，而不是固定时间。
跳空：隔夜跳空时你来不及调仓。正 Gamma 在跳空中受益，负 Gamma 在跳空中最危险。
IV 变化：演练假设 IV 不变。如果你买入后 IV 下跌，跨式价值会额外缩水，scalping 的利润可能被 Vega 损失吞掉。

对个人交易者

这套方法对做市商是日常工作，对个人来说成本和精力要求都很高。更现实的用法是反过来理解：当你卖期权收 Theta 时，你就站在这张表的对手位置，赚的是「行情 B」，怕的是「行情 A」。

4.8做市商 Gamma 与市场

做市商卖出期权后通常会对冲 Delta，他们持有的 Gamma 决定了这些对冲会推动还是压制价格。

做市商的 Gamma 符号决定了对冲方向图 4-6 · 示意图

在正 Gamma 环境里做市商的对冲是「逆势」的，市场容易横盘、被钉在大额持仓的行权价附近。在负 Gamma 环境里对冲是「顺势」的，涨跌都会被放大。两种环境的分界价位就是常说的 Gamma Flip。

怎么估算做市商的 Gamma 敞口

没有人能直接看到做市商的仓位，市面上的 GEX（Gamma 敞口）数据都是估算，最常见的做法分三步：

对每个行权价，用未平仓合约数（OI）乘以该行权价期权的 Gamma，再按 4.4 节换成 1% 美元 Gamma。
假设做市商在看涨期权上净多、在看跌期权上净空（客户多为卖出备兑看涨、买入保护性看跌）。于是看涨贡献正号，看跌贡献负号。
把所有行权价加总得到净 GEX；在不同的假设股价下重复计算，净值由正转负的价位就是 Gamma Flip。

表 4-5　假设的两个行权价（SPY $780，7 天到期，IV 16%）
合约	未平仓量	单张 Gamma	1% 美元 Gamma	做市商视角符号
780 看涨	60,000	0.0231	$842M	+
770 看跌	80,000	0.0190	$922M	−
净值			−$80M	略偏负 Gamma

读法：如果做市商真的是这样持仓，SPY 每跌 1%，他们需要额外卖出约 8,000 万美元的股票来维持中性。数字是假设的，用来说明计算方法。

估算的局限

「做市商多看涨、空看跌」只是平均假设，个别行权价可能完全相反
OI 每天只更新一次，看不到当天的 0DTE 流量
Vanna 和 Charm 同样驱动对冲，单看 Gamma 会漏掉 IV 和时间带来的资金流

实战观察

不少交易者的盘前笔记都用这套框架。例如在一次三巫日前，判断跌破 SPY 760 偏向买 Put、守在 760 上方偏向买 Call，理由是 760 以上由正 Gamma 主导。又如把某次 MU 的急拉归因于次日到期的大量看涨期权引发的做市商对冲，而不是基本面改善；或者提醒连涨的芯片股要等期权到期日过后再下结论：到期后如果回撤，说明上涨主要是对冲盘推上去的。Barchart 的 Gamma 页面是一个常用的免费查看入口。

案例三个案例

案例 1

同样的 ±3%，在最后几天完全是另一种仓位

平值 100 看涨，IV 30%。比较股价在 97、100、103 时，不同剩余天数下的 Delta：

剩余天数	股价 97	股价 100	股价 103	97 到 103 的 Delta 落差
30	0.392	0.532	0.665	0.27
10	0.286	0.519	0.740	0.45
5	0.202	0.513	0.809	0.61
3	0.137	0.510	0.867	0.73
1	0.027	0.506	0.971	0.94

剩 30 天时，股价在 97 到 103 之间晃动，Delta 只在 0.39 到 0.67 之间变化，仓位像一只稳定的股票。剩 1 天时，同样的晃动让 Delta 在 0.03 和 0.97 之间来回跳：前一刻几乎没有仓位，下一刻像满仓持股。

对买方：最后几天的平值期权是彩票。赢面在于跳跃，Theta 却按 Gamma 同步加价（表 4-3）。
对卖方：最后几天收的权利金最多，但一根大阳线就可能让你从「几乎没风险」变成「满仓做空」。这就是很多卖方账户在到期周出事的原因。

案例 2

财报前用 Delta–Gamma 做压力测试，结果漏掉了最大的一项

你在财报前买了 20 张 30 天平值 100 看涨。财报前 IV 被抬到 60%，仓位 Delta +1,084 股，Gamma 46.1，Vega 每个 IV 点约 $227。财报后第二天，IV 回落到 35%。

表 4-6　20 张看涨，财报后一天的仓位盈亏（美元）
股价移动	Delta–Gamma 近似	重新定价，IV 不变	重新定价，IV 降到 35%
−8	−7,194	−7,360	−11,798
−5	−4,842	−5,053	−10,147
0	0	−240	−5,839
+5	+5,995	+5,739	+445
+8	+10,146	+9,835	+5,025

前两列很接近，说明 Delta–Gamma 对价格的估计没问题。差距全在第三列：IV 掉 25 个点，乘以每点 $227，约 $5,700 的 Vega 损失。股价如期涨了 5%，你只赚 $445。

要点

事件前的压力测试至少要做两组：价格 × IV 不变，价格 × IV 回落到事件前的正常水平。如果第二组里「看对方向」也不赚钱，这笔交易的结构就选错了，可以考虑价差（两条腿的 Vega 部分抵消）或日历价差。

案例 3

当一只股票被期权「推着走」

2021 年 1 月的 GameStop 是负 Gamma 放大效应最有名的例子。散户大量买入短期虚值看涨期权，卖出这些期权的做市商被迫买股对冲。股价上涨让这些虚值期权的 Delta 快速变大（Gamma），同时 IV 飙升又进一步抬高 Delta（Vanna），做市商需要买入的股票越来越多，买盘推高股价，形成循环。

你不需要等到这种极端情况才用得上这个逻辑。日常里更常见的是它的小规模版本：某个临近到期的行权价上堆积了大量看涨期权，做市商为对冲而买股，把股价推向那个行权价。这类上涨来自「期权效应」，不是基本面改善。验证方法也一样：看到期日过后，对冲需求消失，价格是否回落。

Delta 与 Gamma